Question

如图，直二面角D—AB—E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE=EB，F
为CE上的点，且BF⊥平面ACE.
（Ⅰ）求证：AE⊥平面BCE；
（Ⅱ）求二面角B—AC—E的余弦值；
（Ⅲ）求点D到平面ACE的距离.

Answer 1

（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）（Ⅲ）

19．解法一：（Ⅰ）平面ACE.  
∵二面角D—AB—E为直二面角，且，平面ABE.
 
（Ⅱ）连结BD交AC于C，连结FG，

∵正方形ABCD边长为2，∴BG⊥AC，BG=，
平面ACE，
（Ⅲ）过点E作交AB于点O. OE=1.
∵二面角D—AB—E为直二面角，∴EO⊥平面ABCD.
设D到平面ACE的距离为h， 

平面BCE， 
∴点D到平面ACE的距离为

解法二：（Ⅰ）同解法一.
（Ⅱ）以线段AB的中点为原点O，OE所在直
线为x轴，AB所在直线为y轴，过O点平行
于AD的直线为z轴，建立空间直角坐标系
O—xyz，如图.
面BCE，BE面BCE，，
在的中点，

 设平面AEC的一个法向量为，
则解得
令得是平面AEC的一个法向量.
又平面BAC的一个法向量为，
∴二面角B—AC—E的大小为
（III）∵AD//z轴，AD=2，∴，
∴点D到平面ACE的距离