Question

设P是椭圆

x2

25

+

y2

16

=1上的一点，F₁、F₂是焦点，若∠F₁PF₂=30°，则△PF₁F₂的面积为（　　）

• A．

  16 3

  3

• B．16(2-

  3

  )
• C．16(2+

  3

  )
• D．16

Answer 1

分析：根据椭圆方程算出椭圆的焦点坐标为F₁（-3，0）、F₂（3，0）．由椭圆的定义|PF₁|+|PF₂|=10，△PF₁F₂中用余弦定理得到|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁|•|PF₂|cos30°=36，两式联解可得|PF₁|•|PF₂|=64（2-

3

），最后根据三角形面积公式即可算出△PF₁F₂的面积．

解答：解：∵椭圆方程为

x2

25

+

y2

16

=1，
∴a²=25，b²=16，得a=5且b=4，c=

25-16

=3，
因此，椭圆的焦点坐标为F₁（-3，0）、F₂（3，0）．
根据椭圆的定义，得|PF₁|+|PF₂|=2a=10
∵△PF₁F₂中，∠F₁PF₂=30°，
∴|F₁F₂|²=|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁|•|PF₂|cos30°=4c²=36，
可得（|PF₁|+|PF₂|）²=36+（2+

3

）|PF₁|•|PF₂|=100
因此，|PF₁|•|PF₂|=

64

2+ 3

=64（2-

3

），
可得△PF₁F₂的面积为S=

1

2

•|PF₁|•|PF₂|sin30°=16(2-

3

)
故选：B

点评：本题给出椭圆上一点对两个焦点所张的角为30度，求焦点三角形的面积．着重考查了椭圆的标准方程与简单几何性质等知识，属于中档题．