Question

设P是椭圆

x2

25

+

y2

16

=1上任意一点，A和F分别是椭圆的左顶点和右焦点，则

PA

•

PF

+

1

4

PA

•

AF

的最小值为

 

．

Answer 1

分析：先根据椭圆方程设出P的参数坐标，求得A，F的坐标，进而分别表示出

PA

，

PF

，

AF

代入

PA

•

PF

+

1

4

PA

•

AF

化简整理求得其最小值．

解答：解：P的参数坐标为（5cosθ，4sinθ）；
坐标A（-5，0）；F（3，0）；
则

PA

=（-5-5cosθ，0-4sinθ）；

PF

=（3-5cosθ，0-4sinθ）；
则

PA

•

PF

+

1

4

PA

•

AF

=（-5-5cosθ）•（3-5cosθ）+16sin²θ+

1

4

（-5-5cosθ，-4sinθ）•（8，0）
=（-5-5cosθ）（3-5cosθ）+16sin²θ+2（-5-5cosθ）
=9cos²θ-9≥-9．
故答案为：-9．

点评：本题主要考查了椭圆的应用，参数坐标的应用．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．