Question

设P是椭圆

x2

25

+

y2

16

=1上的任意一点，又点Q（0，-4），则|PQ|的最大值为

8

．

Answer 1

分析：设点P坐标为（x，y），由椭圆的方程结合两点间的距离公式化简得PQ|²=-

9

16

（y-

64

9

）²+

625

9

，结合二次函数的图象和y∈[-4，4]，可得当y=4时，|PQ|²=的最大值为64，从而得到|PQ|的最大值．

解答：解：设点P坐标为（x，y），则|PQ|²=x²+（y+4）²
∵点P（x，y）在椭圆

x2

25

+

y2

16

=1上
∴x²=25（1-

y2

16

），可得
|PQ|²=（25-

25y2

16

）+（y+4）²=-

9

16

（y-

64

9

）²+

625

9

∵椭圆上点P的纵坐标y∈[-4，4]
∴当y=4时，|PQ|²=的最大值为64，由此可得|PQ|的最大值为8
故答案为：8

点评：本题给出椭圆上的动点P，求P到定点（0，-4）的距离最大值．着重考查了椭圆的标准方程、简单几何性质和两点间的距离公式等知识，属于中档题．