题目内容
已知向量
，
的夹角为60°，且|
|=1，|
|=2，设
=3
-
，
=t
+2
（1）求
•
； （2）试用t来表示
•
的值；（3）若
与
的夹角为钝角，试求实数t的取值范围．
| a |
| b |
| a |
| b |
| m |
| a |
| b |
| n |
| a |
| b |
（1）求
| a |
| b |
| m |
| n |
| m |
| n |
分析：（1）由已知中向量
，
的夹角为60°，且|
|=1，|
|=2，代入向量数量积公式，易求出
•
；
（2）根据已知中
=3
-
，
=t
+2
，结合向量
，
的夹角为60°，且|
|=1，|
|=2，代入向量数量积公式，即可表示出
•
的值；
（3）若
与
的夹角为钝角，于是
•
＜0且
与
不平行，根据（2）中结论，构造关于t的不等式组，解不等式组，即可得到实数t的取值范围．
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
（2）根据已知中
| m |
| a |
| b |
| n |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| m |
| n |
（3）若
| m |
| n |
| m |
| n |
| m |
| n |
解答：解：（1）∵向量
，
的夹角为60°，且|
|=1，|
|=2，
∴
•
=1×2×cos60°=1； …（3分）
（2）∵
=3
-
，
=t
+2
∴
•
=(3
-
)•(t
+2
)=3t
2+(6-t)
•
-2
2=3t+6-t-2×4=2t-2…（3分）
（3）夹角为钝角，于是
•
＜0且
与
不平行．
其中
•
＜0⇒t＜1，而
∥
⇒t=-6，
于是实数t的取值范围是t∈（-∞，-6）∪（-6，1）．…（3分），其中没排除平行情况扣（2分）
| a |
| b |
| a |
| b |
∴
| a |
| b |
（2）∵
| m |
| a |
| b |
| n |
| a |
| b |
∴
| m |
| n |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| a |
| b |
| b |
（3）夹角为钝角，于是
| m |
| n |
| m |
| n |
其中
| m |
| n |
| m |
| n |
于是实数t的取值范围是t∈（-∞，-6）∪（-6，1）．…（3分），其中没排除平行情况扣（2分）
点评：本题考查的知识点是平面向量数量积的运算，数量积表示两个向量的夹角，熟练掌握平面向量的数量积公式，是解答本题的关键，（3）中易忽略t=-6时，向量
与
反向的情况，而错解为（-∞，1）
| m |
| n |
练习册系列答案
相关题目
已知向量
与
的夹角为
，|
|=
，则
在
方向上的投影为（ ）
| a |
| b |
| π |
| 3 |
| a |
| 2 |
| a |
| b |
A、
| ||||
B、
| ||||
C、
| ||||
D、
|