Question

17．设关于x的不等式$\frac{x+3}{k+1}$＞1+$\frac{2x-3}{（k+1）^{2}}$（k∈R且k≠-1）
（1）解此不等式；
（2）若此不等式的解集为（-∞，$\frac{1}{2}$），求k的值；
（3）若x=-2是不等式的解，求k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）化简，分类讨论，即可求出不等式的解集；
（2）由题意得到$\frac{{k}^{2}-k-5}{k-1}$=-$\frac{1}{2}$，解的即可，
（3）代值，解不等式即可．

解答 解：（1）$\frac{x+3}{k+1}$＞1+$\frac{2x-3}{（k+1）^{2}}$（k∈R且k≠-1），
∴（x+3）（k+1）＞（k+1）²+2x-3，
∴x（k-1）＞（k+1）²-3-3（k+1）=k²-k-5，
当k＞1时，x＞$\frac{{k}^{2}-k-5}{k-1}$，此时不等式的解集为{x|x＞$\frac{{k}^{2}-k-5}{k-1}$}
当k＜1时且k≠-1时，x＜$\frac{{k}^{2}-k-5}{k-1}$，此时不等式的解集为{x|x＜$\frac{{k}^{2}-k-5}{k-1}$}
当k=1时，x∈R，此时不等式的解集为R；
（2）此不等式的解集为（-∞，$\frac{1}{2}$），
∴$\frac{{k}^{2}-k-5}{k-1}$=-$\frac{1}{2}$
解得k=$\frac{1}{4}$+$\frac{\sqrt{22}}{2}$（舍去），k=$\frac{1}{4}$-$\frac{\sqrt{22}}{2}$，
（3）x=-2是不等式的解，
∴-2（k-1）＞k²-k-5，
即k²+k-7＜0，
解得$-\frac{1}{2}$-$\sqrt{7}$＜k＜$-\frac{1}{2}$+$\sqrt{7}$，且k≠-1，
∴k的取值范围为（$-\frac{1}{2}$-$\sqrt{7}$，-1）∪（-1，$-\frac{1}{2}$+$\sqrt{7}$）．

点评 本题考查了不等式的解法，和分类讨论的思想，属于基础题．