Question

如图，平面α与平面β交于直线l，A，C是平面α内不同的两点，B，D是平面β内不同的两点，且A，B，C，D不在直线l上，M，N分别是线段AB，CD的中点，下列判断错误的是

 

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①若AB与CD相交，且直线AC平行于l时，则直线BD与l可能平行也有可能相交
②若AB，CD是异面直线时，则直线MN可能与l平行
③若存在异于AB，CD 的直线同时与直线AC，MN，BD都相交，则AB，CD不可能是异面直线
④M，N两点可能重合，但此时直线AC与l不可能相交．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：①当AB与CD相交，直线AC平行于l时，直线BD可以与l平行；②AB，CD是异面直线时，MN不可能与l平行；③若存在异于AB，CD 的直线同时与直线AC，MN，BD都相交，则AB，CD可能是异面直线；④若M，N两点可能重合，则AC∥BD，故AC∥l，此时直线AC与直线l不可能相交．

解答： 解：对于①，因为AB与CD相交，则ABCD四点共面于平面γ，且λ∩β=BD，λ∩α=AC，由AC∥l，可得AC∥β，
由线面平行的性质可得AC∥BD，进而可得BD∥l，故①错误；
对于②，当AB，CD是异面直线时，MN不可能与l平行，过N作CD的平行线EF，分别交α，β于E、F，可得M为EF中点，可得△BMF≌△AME，可得AE∥BF，显然与题设矛盾，故②错误；
对于③，若存在异于AB，CD 的直线同时与直线AC，MN，BD都相交，则AB，CD可能是异面直线，故③错误；
对于④，若M，N两点可能重合，则AC∥BD，故AC∥l，故此时直线AC与直线l不可能相交，故④正确．
故答案为：①②③．

点评：本题主要考查空间直线位置关系的判断，考查图形的观察能力与运用相关知识证明判断的能力．综合性较强．