题目内容

已知函数f（x）=3x²+1，g（x）=2x，数列{a_n}满足对于一切n∈N^*有a_n＞0，且 $数学公式$ ．数列{b_n}满足 $数学公式$ ，设 $数学公式$ ．
（1）求证：数列{a_n}为等比数列，并指出公比；
（2）若k+l=9，求数列{b_n}的通项公式．

解：（1）由题意，∵ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ ，∴a_n+1=3a_n
∴数列{a_n}为等比数列，公比为3；
（2）∵ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$
$\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$
分析：（1）根据 $\text{[math]}$ ，代入到函数f（x）=3x²+1，g（x）=2x，化简可得a_n+1=3a_n，从而可得数列{a_n}为等比数列，公比为3；
（2）先证明数列{b_n}的倒数构成意等差数列，再利用条件 $\text{[math]}$ ，结合k+l=9求数列的首项与公差，从而可表示数列{b_n}的通项公式．
点评：本题的考点是数列递推关系式，主要考查数列与函数的结合，考查等比数列的定义，等差数列的定义及通项公式的运用，关键是构建等差数列，考查等价转化的能力，有一定的难度．

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已知函数f（x）=3•2^x-1，则当x∈N时，数列{f（n+1）-f（n）}（　　）

A、是等比数列

B、是等差数列

C、从第2项起是等比数列

D、是常数列

已知函数f（x）=

的定义域为集合A，B={x丨m＜x-m＜9}．
（1）若m=0，求A∩B，A∪B；
（2）若A∩B=B，求所有满足条件的m的集合．

已知函数f（x）=

的定义域为集合A，B={x|x＜a}．
（1）若A⊆B，求实数a的取值范围；
（2）若全集U={x|x≤4}，a=-1，求?_UA及A∩（?_UB）．

已知函数f（x）=

（a≠1）在区间（0，4]上是增函数，则实数a的取值范围是（　　）

B．（0，1）

D．(-∞，0)∪[

已知函数f（x）=3-2log₂x，g（x）=log₂x．
（1）当x∈[1，4]时，求函数h（x）=[f（x）+1]•g（x）的值域；
（2）如果对任意的x∈[1，4]，不等式f(x2)•f(

)＞k•g(x)恒成立，求实数k的取值范围．