Question

（2011•静海县一模）定义在[-1，1]上的奇函数，若m，n∈[-1，1]，m+n≠0时有

f(m)+f(n)

m+n

＞0，则不等式f(x+

1

2

)+f(2x-1)＜0的解集是

{x|0≤x＜

1

6

}

．

Answer 1

分析：由定义在[-1，1]上的奇函数，若m，n∈[-1，1]，m+n≠0时有

f(m)+f(n)

m+n

＞0，确定函数单调递增，再结合不等式转化为具体不等式，即可求得解集．

解答：解：∵定义在[-1，1]上的奇函数，若m，n∈[-1，1]，m+n≠0时有

f(m)+f(n)

m+n

＞0，
∴m+n＞0时，f（m）+f（n）＞0或m+n＜0时，f（m）+f（n）＜0
∴m＞-n时，f（m）＞-f（n）=f（-n）或m＜-n时，f（m）＜-f（n）=f（-n）
∴定义在[-1，1]上的奇函数单调递增
∵f(x+

1

2

)+f(2x-1)＜0
∴f(x+

1

2

)＜-f(2x-1)
∴f(x+

1

2

)＜f(-2x+1)
∴

-1≤x+ 1 2 ≤1 -1≤-2x+1≤1 x+ 1 2 ＜-2x+1

∴0≤x＜

1

6

∴不等式的解集为{x|0≤x＜

1

6

}．

点评：本题考查函数单调性与奇偶性的结合，考查解不等式，确定函数的单调性是关键．