Question

【题目】已知函数.

（1）求函数的单调区间；

（2）求函数的零点个数；

（3）当时，求证不等式解集为空集.

Answer 1

【答案】（1）的单调增区间为，单调减区间为（2）在上只有一个零点（3）证明见解析

【解析】

（1）求导得到，计算得到答案.

（2）求导得到，分类讨论，和三种情况得到答案.

（3）原题等价于恒成立，求导得到函数的单调区间，计算最小值得到证明.

（1）的定义域为.

令，得

当时，有，所以在上单调递增.

当时，有，所以在上单调递减.

综上所述：的单调增区间为，单调减区间为

（2）函数，

令，解得

，

当时，在上递减，有.所以.

所以有一个零点.

当时，在上递增，所以有一个零点.

当时，在上递增，在上递减，在上递增.

此时，所以有一个零点.

综上所述：在上只有一个零点.

（3）当时，不等式解集为空集,等价于在定义域内恒成立.

即在定义域内恒成立.

令.

，令，得

列表得

	—	0	+
	递减	最小值	递增

因为，所以.

又，所以

所以恒成立.所以不等式解集为空集