Question

【题目】已知函数.

(1)判断函数的单调性；

(2)若,当时,不等式恒成立,求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

试题分析：（1）对函数求导来利用，得出函数的单调区间，这里注意对的讨论；（2）要让恒成立，应猜想函数在上单调递增或递减，而或恒成立；所以下面要做的是看，或恒成立，然后再看在上单调性.

试题解析：（1），则．

当时，对，有，所以函数在区间上单调递增；

当时，由，得，由，得，

此时函数的单调递增区间为，单调递减区间为，

综上，当时，函数的单调递增区间为，无单调递减区间；

当时，函数的单调递增区间为，

单调递减区间为．

（2）易知当时，，故当．

先分析证明：．

要证，只需证，即证，

构造函数，则，

故函数在上单调递增，所以，则成立．

当时，由（1）知，在上单调递增，则在上恒成立；

当是地，由（1）知，函数在上单调递增，在上单调递减．

故当时，，所以，则不满足题意．

所以满足题意的实数的取值范围是