题目内容
已知向量
=（2cosα，2sinα），
=（3cosβ，3sinβ），若＜
，
＞=60°，则直线：xcosα-ysinα+
=0与圆：（x-cosβ）2+（y+sinβ）2=1的位置关系是（ ）A．相交
B．相交且过圆心
C．相切
D．相离
【答案】分析：利用向量的数量积的定义可求得cosαcosβ+sinαsinβ=
，求出圆心到直线的距离正好等于圆的半径，从而得出结论．
解答：解：由题意可得|
|=2，|
|=3，
=2×3×cos60°=2×3×=3，
又
=（2cosα，2sinα）•（3cosβ，3sinβ）=6cosαcosβ+6sinαsinβ=3，
∴cosαcosβ+sinαsinβ=
．
圆（x-cosβ）2+（y+sinβ）2=1的圆心坐标为（cosβ，-sinβ），半径为1；
∵圆心（cosβ，-sinβ）到直线2xcosα-2ysinα+1=0的距离为
=
=1，
∴直线2xcosα-2ysinα+1=0与圆（x-cosβ）2+（y+sinβ）2=1相切，
故选 C．
点评：本题主要考查了向量的数量积的定义及坐标表示，直线与圆的位置关系的判断，综合应用向量，点到直线的距离公式等知识，属于中档题．
，求出圆心到直线的距离正好等于圆的半径，从而得出结论．解答：解：由题意可得|
|=2，||=3，=2×3×cos60°=2×3×=3，又
=（2cosα，2sinα）•（3cosβ，3sinβ）=6cosαcosβ+6sinαsinβ=3，∴cosαcosβ+sinαsinβ=
．圆（x-cosβ）2+（y+sinβ）2=1的圆心坐标为（cosβ，-sinβ），半径为1；
∵圆心（cosβ，-sinβ）到直线2xcosα-2ysinα+1=0的距离为
==1，∴直线2xcosα-2ysinα+1=0与圆（x-cosβ）2+（y+sinβ）2=1相切，
故选 C．
点评：本题主要考查了向量的数量积的定义及坐标表示，直线与圆的位置关系的判断，综合应用向量，点到直线的距离公式等知识，属于中档题．
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