Question

【题目】三棱锥中，侧面底面, 是等腰直角三角形的斜边，且.

（1）求证： ；

（2）已知平面平面，平面平面， ，且到平面的距离相等，试确定直线及点的位置（说明作法及理由），并求三棱锥的体积.

Answer 1

【答案】(1)见解析；（2）见解析..

【解析】试题分析：（1）根据面面垂直可得线面垂直，故在内作，交于，连结，则由侧面底面， 得底面，然后证得O为中点即可得

从而得证；（2）根据面面平行的性质可得，由到平面的距离相等可得//平面或中点在平面上，又 平面,平面∩平面

// 或中点在上, 或为平行四边形,即. 所以,过点A在平面ABC内作直线平行于BC，则所作直线即为l,以A为圆心BC长为半径作弧与l交点即为点 (或在l上到A距离为2的点即为点)其中.

解析：

（Ⅰ）法一:在内作，交于，连结，

则由侧面底面，

得底面

又， ，

， 为等腰直角三角形， ，

又∩= ,

即

法二:取中点，连结, ,由侧面底面

得,

由已知,

，

又∩= ,

即

（Ⅱ）法一:

平面∥平面,平面∩平面,平面∩平面

到平面的距离相等 //平面或中点在平面上

又 平面,平面∩平面

// 或中点在上,

或为平行四边形,即.

所以,过点A在平面ABC内作直线平行于BC，则所作直线即为l,以A为圆心BC长为半径作弧与l交点即为点 (或在l上到A距离为2的点即为点)

其中

法二: 到平面的距离相等

平面∥平面，平面∩平面，平面∩平面

// 或中点在上,

或为平行四边形,即.

所以,过点A在平面ABC内作直线平行于BC，则所作直线即为l,以A为圆心BC长为半径作弧与l交点即为点 (或在l上到A距离为2的点即为点)