Question

设A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)两点在抛物线y=2x²上,l是AB的垂直平分线.

(1)当且仅当x₁+x₂取何值时,直线l经过抛物线的焦点F?证明你的结论;

(2)当直线l的斜率为2时,求l在y轴上截距的取值范围.

Answer 1

解:(1)F∈l|FA|=|FB|A、B两点到抛物线的准线的距离相等.

∵抛物线的准线是x轴的平行线,y₁≥0,y₂≥0,

依题意y₁、y₂不同时为0,

∴上述条件等价于y₁=y₂?x₁²=x₂²?(x₁+x₂)(x₁-x₂)=0.

∵x₁≠x₂,∴上述条件等价于x₁+x₂=0,

即当且仅当x₁+x₂=0时,l经过抛物线的焦点F.

(2)设l在y轴上的截距为b,依题意得l的方程为y=2x+b;过点A、B的直线方程可写为y=-x+m,

∴x₁、x₂满足方程2x²+x-m=0,

得x₁+x₂=-.

A、B为抛物线上不同的两点等价于上述方程的判别式Δ=+8m＞0,即m＞-.

设AB的中点N的坐标为(x₀,y₀),则

x₀=(x₁+x₂)=-,y₀=-x₀+m=+m.

由N∈l,得+m=-+b,

于是b=+m＞

即l在y轴上的截距的取值范围为(,+∞).