Question

设A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂)两点在抛物线y=2x²上,l是AB的垂直平分线.

(1)当且仅当x₁+x₂取何值时,直线l经过抛物线的焦点F?证明你的结论.

(2)当直线l的斜率为2时,求l在y轴上截距的取值范围.

Answer 1

解：(1)F∈l|FA|=|FB|A、B两点到抛物线的准线的距离相等.

∵抛物线的准线是x轴的平行线,y₁≥0,y₂≥0且y₁、y₂不同时为0,

∴上述条件等价于y₁=y₂x₁²=(x₁+x₂)(x₁-x₂)=0.

∵x₁≠x₂,

∴x₁+x₂=0,即当且仅当x₁+x₂=0时,l经过抛物线的焦点F.

(2)设l在y轴上的截距为b,l的方程为y=2x+b,过A、B两点的直线方程为y=-x+m,

∴x₁、x₂满足方程2x²+x-m=0,即x₁+x₂=-.

A、B为抛物线上不同的两点等价于上述方程的判别式Δ=+8m＞0,即m＞-.

    设A、B两点的中点N(x₀,y₀),则x₀==-,

y₀=-x₀+m=+m.

    由N∈l,∴+m=-+b.

    于是b=+m＞-=.

    故l在y轴上截距的取值范围为(,+∞).