Question

已知正项数列，其前项和满足且成等比数列，求数列的通项

Answer 1

解: ∵10S_n=a_n²+5a_n+6, ①   ∴10a₁=a₁²+5a₁+6,解之得a₁=2或a₁=3．

又10S_n－1=a_n－1²+5a_n－1+6(n≥2),②

由①－②得 10a_n=(a_n²－a_n－1²)+6(a_n－a_n－1),即(a_n+a_n－1)(a_n－a_n－1－5)=0 

∵a_n+a_n－1>0  , ∴a_n－a_n－1=5 (n≥2)．

当a₁=3时,a₃=13,a₁₅=73． a₁, a₃,a₁₅不成等比数列∴a₁≠3;

当a₁=2时, a₃=12, a₁₅=72, 有 a₃²=a₁a₁₅ , ∴a₁=2, ∴a_n=5n－3．