Question

（本小题满分16分）已知在直角坐标系中，，其中数列都是递增数列。

（1）若，判断直线与是否平行；

（2）若数列都是正项等差数列，设四边形的面积为．

求证：也是等差数列；

（3）若,，记直线的斜率为，数列前8项依次递减，求满足条件的数列的个数。

 

Answer 1

【答案】

⑴由题意、、、．

∴，． …………………………………（2分）

，∴与不平行．  ……………………………………（4分）

⑵、为等差数列，设它们的公差分别为和，则，

由题意．……………………………（6分）

∴

，……（8分）

∴，∴是与无关的常数，

∴数列是等差数列． ……………………………………………………………（10分）

⑶

、，∴．

又数列前项依次递减，

∴对成立，即对成立．………………（12分）

又数列是递增数列，∴，只要时，即即可．

又，联立不等式，作出可行域（如右图所示），易得或．…………（14分）

当时，，即，有解；

当时，，即，有解．∴数列共有个．（16分）

另解：也可直接由得．又，则或．下同

【解析】略