Question

（2012•顺义区一模）如图：四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠ACB=90°，PA⊥平面ABCD，PA=BC=1，AB=

2

，F是BC的中点．
（Ⅰ） 求证：DA⊥平面PAC；
（Ⅱ）试在线段PD上确定一点G，使CG∥平面PAF；
（Ⅲ）求平面PAF与平面PCD所成锐二面角的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用平行四边形的性质和平行线的性质可得AD⊥AC，再利用线面垂直的性质可得PA⊥AC，利用线面垂直的判定定理即可证明；
（Ⅱ）分别以AC，AD，AP为x、y、z轴建立空间直角坐标系，求出平面PAF法向量

m

，要CG∥平面PAF，可得

m

•

GC

=0，即可求得结论；
（Ⅲ）确定平面PCD法向量，利用向量的夹角公式，即可求平面PAF与平面PCD所成锐二面角的余弦值．

解答：（Ⅰ） 证明：∵四边形是平行四边形，∴∠ACB=∠DAC=90°，
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥DA，
又AC⊥DA，AC∩PA=A，∴DA⊥平面PAC．
（Ⅱ）解：分别以AC，AD，AP为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，C(1，0，0)，B(1，-1，0)，D(0，1，0)，F(1，-

1

2

，0)，P(0，0，1)
设G为PD上一点，使CG∥平面PAF，
令

PG

=λ

PD

=(0，λ，-λ)，(0≤λ≤

2

)，

GC

=

PC

-

PG

=(1，-λ，-1+λ)
设平面PAF法向量为

m

=(x，y，z)
∵

AP

=(0，0，1)，

AF

=(1，-

1

2

，0)
∴

z=0 x- y 2 =0

∴可取平面PAF法向量

m

=(1，2，0)，
要CG∥平面PAF，∴

m

•

GC

=0，解得λ=

1

2

．
∴G为PD中点时，CG∥平面PAF．
（Ⅲ）解：平面PCD法向量为

n

=(x′，y′，z′)
∵

PC

=(1，0，-1)，

PD

=(0，1，-1)
∴

x′-z′=0 y′-z′=0

∴可取平面PCD法向量

n

=(1，1，1)，
∴cos＜

m

，

n

＞=

| m • n |

| m || n |

=

15

5

∴所求二面角的余弦值为

15

5

．

点评：本题考查线面垂直，考查线面平行，考查向量知识的运用，掌握线面垂直的判定定理，正确运用向量知识是解题的关键．