Question

8．设函数g（x）=e^x+2x-a（a∈R，e为自然对数底数），定义在R上函数f（x）满足：f（-x）+f（x）=x²，且当x＜0时，f′（x）＜x，若存在x₀∈{x|f（x）+$\frac{1}{2}$≥f（1-x）+x}．使g[g（x₀）]=x₀，则实数a的取值范围为a≤$\sqrt{e}$+$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 构造新的函数，将f（x）转化为可以知道性质的函数，将x₀的范围确定出来，再处理g（x），由性质确定出a的范围．

解答 解：∵f（-x）+f（x）=x²
∴令F（x）=f（x）-$\frac{1}{2}{x}^{2}$，
∴f（x）-$\frac{1}{2}{x}^{2}$=-f（-x）+$\frac{1}{2}$x²
∴F（x）=-F（-x），即F（x）为奇函数，
∵F′（x）=f′（x）-x，
且当x＜0时，f′（x）＜x，
∴F′（x）＜0对x＜0恒成立，
∵F（x）为奇函数，
∴F（x）在R上单调递减，
∵f（x）+$\frac{1}{2}$≥f（1-x）+x，
∴f（x）+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}{x}^{2}$≥f（1-x）+x-$\frac{1}{2}{x}^{2}$，
即F（x）≥F（1-x），
∴x≤1-x，
x₀≤$\frac{1}{2}$，
由g[g（x₀）]=x₀可得g（x₀）=g^-1（x₀），
而g（x）如果与其反函数相交，则交点一定在直线y=x上，
故有g（x₀）=x₀，
即h（x）=e^x+x-a=0在（-∞，$\frac{1}{2}$]有解．
∵h′（x）=e^x+1，
∴h（x）在R上单调递增．
∴h（x）_max=h（$\frac{1}{2}$）=$\sqrt{e}$+$\frac{1}{2}$-a≥0即可，
∴a≤$\sqrt{e}$+$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查对f（x）那个式子的处理，重新构造新的函数，通过新函数确定x₀的范围，再来确定a的范围．