Question

已知a＞0，b＞0且a+b＞2，求证：

1+b

a

，

1+a

b

中至少有一个小于2．

Answer 1

分析：本题证明结论中结构较复杂，而其否定结构简单，故可用反证法证明其否定不成立，即证明

1+b

a

，

1+a

b

不可能都不小于2，假设

1+b

a

，

1+a

b

都不小于2，则

1+b

a

≥2，

1+a

b

≥2得出2≥a+b，这与已知a+b＞2相矛盾，故假设不成立，以此来证明结论成立．

解答：证明：假设

1+b

a

，

1+a

b

都不小于2，则

1+b

a

≥2，

1+a

b

≥2（6分）
因为a＞0，b＞0，所以1+b≥2a，1+a≥2b，1+1+a+b≥2（a+b）
即2≥a+b，这与已知a+b＞2
相矛盾，故假设不成立（12分）
综上

1+b

a

，

1+a

b

中至少有一个小于2．（14分）

点评：反证法是一种简明实用的数学证题方法，也是一种重要的数学思想．相对于直接证明来讲，反证法是一种间接证法．它是数学学习中一种很重要的证题方法．其实质是运用“正难则反”的策略，从否定结论出发，通过逻辑推理，导出矛盾．