Question

设无穷等比数列的公比为q，且，表示不超过实数的最大整数（如）,记，数列的前项和为，数列的前项和为.
（Ⅰ）若，求；
（Ⅱ）若对于任意不超过的正整数n，都有，证明：.
（Ⅲ）证明：（）的充分必要条件为.

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）答案详见解析；（Ⅲ）答案详见解析.

试题分析：（Ⅰ）由已知得，，，，且当时，.且，故，，，且当时，，进而求；（Ⅱ）已知数列的前项和（），可求得，由取整函数得，，故，要证明，只需证明，故可联想到，则；（Ⅲ）先证明充分性，当时，，由取整函数的性质得，故；必要性的证明，当时，，则有.
试题解析：（Ⅰ）解：由等比数列的，，得，，，且当时，.
所以，，，且当时，.
即
（Ⅱ）证明：因为 ，所以 ，.
因为 ，
所以 ，.
由 ，得 .
因为 ，
所以 ，
所以 ，即 .
（Ⅲ）证明：（充分性）因为 ，，
所以，
所以对一切正整数n都成立.
因为，，
所以.
（必要性）因为对于任意的，，
当时，由，得；
当时，由，，得.
所以对一切正整数n都有.
由 ，，得对一切正整数n都有，
所以公比为正有理数.
假设 ，令，其中，且与的最大公约数为1.
因为是一个有限整数，
所以必然存在一个整数，使得能被整除，而不能被整除.
又因为，且与的最大公约数为1.
所以，这与（）矛盾.
所以.
因此，.