Question

（本题满分14分）
　　如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧棱底面ABCD，，E是PC的中点，作交PB于点F。
　　(I)证明平面；
　　(II)证明平面EFD；
　　(III)求二面角的大小。

Answer 1

方法一：
　　(I)证明：连结AC，AC交BD于O。连结EO。
　　底面ABCD是正方形，点O是AC的中点
　　在中，EO是中位线，。
　　而平面EDB且平面EDB，
　　所以，平面EDB。
　(II)证明：底在ABCD且底面ABCD，
　　 ① 　　同样由底面ABCD，得
　　底面ABCD是正方形，有平面PDC
　　而平面PDC， ②　　　　 ………………………………6分
　　由①和②推得平面PBC 　而平面PBC，
　　又且，所以平面EFD
(III)解：由(II)知，，故是二面角的平面角
　　由(II)知，设正方形ABCD的边长为，则
　　在中，
　　　在中，
　　所以，二面角的大小为
　　方法二：如图所示建立空间直角坐标系，D为坐标原点。设
　　(I)证明：连结AC，AC交BD于G。连结EG。依题意得
　　底面ABCD是正方形，是此正方形的中心，　故点G的坐标为且
　　
　　。这表明。
　　而平面EDB且平面EDB，平面EDB。
　　(II)证明：依题意得。又故
　　　
　　由已知，且所以平面EFD。
　　(III)解：设点F的坐标为则
　　
　　从而所以
　　
　　由条件知，即
　　解得。
　　点F的坐标为且
　　
　　
　　即，故是二面角的平面角。
　　且
　　

略