题目内容
已知正项数列{ an }满足Sn+Sn-1=
+2 （n≥2，t＞0），a1=1，其中Sn是数列{ an }的前n项和．（Ⅰ）求通项an；
（Ⅱ）记数列{
}的前n项和为Tn，若Tn＜2对所有的n∈N*都成立．求证：0＜t≤1．
【答案】分析：（Ⅰ）由a1=1，S2+S1=
+2，得a2=
，所以a2=
，an+an-1=t（
-
）（n≥3），（an+an-1）[1-t（an-an-1）]=0，所以an-an-1=
（n≥3），由此能求出an．
（Ⅱ）由T1=1＜2，Tn=t+
+
+
+…+
=t+t2（1-
）=t+t2
，知要使Tn＜2，对所有的n∈N*恒成立，只要Tn=t+t2
＜t+t2≤2成立，由此能够证明：0＜t≤1．
解答：（Ⅰ）解：∵a1=1，由S2+S1=
+2，
得a2=
，∴a2=0（舍）或a2=
，
Sn+Sn-1=
+2，①
Sn-1+Sn-2=
+2 （n≥3）②
①-②得an+an-1=t（
-
）（n≥3），
（an+an-1）[1-t（an-an-1）]=0，
由数列{ an }为正项数列，
∴an+an-1≠0，故an-an-1=
（n≥3），
即数列{ an }从第二项开始是公差为
的等差数列．
∴an=
（Ⅱ）证明：∵T1=1＜2，当n≥2时，
Tn=t+
+
+
+…+
=t+t2（1-
）
=t+t2
．
要使Tn＜2，对所有的n∈N*恒成立，
只要Tn=t+t2
＜t+t2≤2成立，
∴0＜t≤1．
点评：本题考查数列前n项和与数列通项公式的关系、等差数列、裂项求和法等．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．综合性强，是高考的重点，易错点是知识体系不牢固．
+2，得a2=，所以a2=，an+an-1=t（-）（n≥3），（an+an-1）[1-t（an-an-1）]=0，所以an-an-1=（n≥3），由此能求出an．（Ⅱ）由T1=1＜2，Tn=t+
+++…+=t+t2（1-）=t+t2，知要使Tn＜2，对所有的n∈N*恒成立，只要Tn=t+t2＜t+t2≤2成立，由此能够证明：0＜t≤1．解答：（Ⅰ）解：∵a1=1，由S2+S1=
+2，得a2=
，∴a2=0（舍）或a2=，Sn+Sn-1=
+2，①Sn-1+Sn-2=
+2 （n≥3）②①-②得an+an-1=t（
-）（n≥3），（an+an-1）[1-t（an-an-1）]=0，
由数列{ an }为正项数列，
∴an+an-1≠0，故an-an-1=
（n≥3），即数列{ an }从第二项开始是公差为
的等差数列．∴an=
（Ⅱ）证明：∵T1=1＜2，当n≥2时，
Tn=t+
+++…+=t+t2（1-
）=t+t2
．要使Tn＜2，对所有的n∈N*恒成立，
只要Tn=t+t2
＜t+t2≤2成立，∴0＜t≤1．
点评：本题考查数列前n项和与数列通项公式的关系、等差数列、裂项求和法等．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．综合性强，是高考的重点，易错点是知识体系不牢固．
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