Question

已知正项数列{a_n}满足：

an

-

an-1

=1，（n∈N⁺，n≥2），且a₁=4．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）求证

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

＜1（n∈N⁺）

Answer 1

分析：（1）由等差数列的定义可知数列{

an

}是等差数列，首项是2，公差为1，从而求出

an

的通项公式，即可求出{a_n}的通项公式；
（2）根据

1

ak

=

1

(k+1)2

＜

1

k(k+1)

=

1

k

-

1

k+1

，代入

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

可证得不等式．

解答：解：（1）由题意可知数列{

an

}是等差数列，首项是2，公差为1；
∴

an

=2+(n-1)×1=n+1
∴a_n=（n+1）²
（2）证明：

1

ak

=

1

(k+1)2

＜

1

k(k+1)

=

1

k

-

1

k+1

∴

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

＜1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

＜1

点评：本题主要考查了等差数列的通项公式，以及利用放缩法和裂项求和法进行证明不等式，属于中档题．