Question

已知正项数列{a_n}满足a₁=

1

2

，且an+1=

an

1+an

（1）证明数列{

1

an

}为等差数列，并求{a_n}的通项公式；
（2）求证：

a1

2

+

a2

3

+

a3

4

+…+

an

n+1

＜1．

Answer 1

分析：（1）由已知得a_n+1a_n=a_n-a_n+1，两边同除以a_n+1a_n得出

1

an+1

-

1

an

=1，判断出{

1

an

}为等差数列，先求出{

1

an

} 的通项公式，再求出{a_n}的通项公式．
 （2）由（1）应得出

an

n+1

=

1

(n+1)2

＜

1

n

-

1

n+1

，放缩裂项后，对不等式左边化简整理再与1比较，进行证明．

解答：解：（1）由已知得a_n+1a_n=a_n-a_n+1a_n
两边同除以a_n+1a_n得出

1

an+1

-

1

an

=1，
∴数列{

1

an

}为公差为1的等差数列，且首项为

1

a1

=2
根据等差数列的通项公式可得

1 an =2+(n-1)=n+1 ∴an= 1 n+1

（2）证明：∵

an

n+1

=

1

(n+1)2

＜

1

n

-

1

n+1

∴

a1 2 + a2 3 + a3 4 +…+ an n+1 ＜ 1 2×1 + 1 3×2 + 1 4×3 +…+ 1 (n+1)n =1- 1 2 + 1 2 - 1 3 + 1 3 - 1 4 +…+ 1 n - 1 n+1 =1- 1 n+1 ＜1

点评：本题考查等差数列的判定，通项公式求解，考查变形构造、计算能力，以及不等式的证明．属于中档题．