题目内容

设椭圆 $数学公式$ 的左、右焦点分别为F₁、F₂，上顶点为A，在x轴负半轴上有一点B，满足 $数学公式$ ．
（I）求椭圆C的离心率；
（II）若过A、B、F₂三点的圆恰好与直线 $数学公式$ 相切，求椭圆C的方程．

解：（I）由题意可知，F₁（-c，0），F₂（c，0），A（0，b），求椭圆C的离心率；
∵ $\text{[math]}$ ，可知F₁为BF₂的中点．
又AB⊥AF₂，
∴Rt△ABF₂中，BF₂²=AB₂+AF₂²，
$\text{[math]}$ ，
又a²=b²+c²，
∴a=2c．
故椭圆的离心率e= $\text{[math]}$ ．
（II）由（I）知， $\text{[math]}$ ，c= $\text{[math]}$ ，于是F₂（ $\text{[math]}$ ，0），B（ $\text{[math]}$ ），
RtABF₂的外接圆圆心为F₁（- $\text{[math]}$ ，0），半径为r=a，
圆与直线 $\text{[math]}$ 相切，
∴ $\text{[math]}$ ，解得a=2，∴c=1，b= $\text{[math]}$ ．
∴所求椭圆方程为 $\text{[math]}$ ．
分析：（I）求出左、右焦点分别为F₁、F₂，上顶点为A的坐标，通过 $\text{[math]}$ ，推出a，b，c的关系，结合a²=b²+c²，即可求椭圆C的离心率；
（II）利用（I）求出过A、B、F₂三点的圆的圆心与半径，利用圆与直线 $\text{[math]}$ 相切圆心到直线的距离等于半径，求出a，b，即可求椭圆C的方程．
点评：本题是中档题，考查椭圆离心率的求法，椭圆的标准方程的求法，直线与圆的位置关系，考查计算能力，转化思想的应用．