Question

已知a∈R，函数f（x）=x²（x-a）．
（1）若函数f（x）在区间(0，

2

3

)内是减函数，求实数a的取值范围；
（2）求函数f（x）在区间[1，2]上的最小值h（a）．

Answer 1

分析：（1）由f（x）=x³-ax²，知f'（x）=3x²-2ax．由函数f（x）在区间(0，

2

3

)内是减函数，知f'（x）=3x²-2ax≤0在(0，

2

3

)上恒成立．由此能求出实数a的取值范围．
（2）由f′(x)=3x(x-

2

3

a)，令f'（x）=0得x=0或

2

3

a．若a≤0，则当1≤x≤2时，f'（x）＞0，所以h（a）=f（1）=1-a；若0＜a＜

3

2

，当1≤x≤2时，f'（x）＞0，所以h（a）=f（1）=1-a；若

3

2

≤a＜3，1＜x＜

2

3

a时，f'（x）＜0；当

2

3

a＜x＜2时，f'（x）＞0．所以h(a)=f(

2

3

a)=-

4

27

a3若a≥3，当1＜x＜2时，f'（x）＜0，所以h（a）=f（2）=8-4a．由此能得到结果．

解答：（1）解：∵f（x）=x³-ax²，
∴f'（x）=3x²-2ax．…（2分）
∵函数f（x）在区间(0，

2

3

)内是减函数，
∴f'（x）=3x²-2ax≤0在(0，

2

3

)上恒成立． 
 即a≥

3x

2

在(0，

2

3

)上恒成立，…（4分）
∵

3x

2

＜

3

2

×

2

3

=1，
∴a≥1．故实数a的取值范围为[1，+∞）．…（6分）
（2）解：∵f′(x)=3x(x-

2

3

a)，
令f'（x）=0得x=0或

2

3

a．…（8分）
①若a≤0，则当1≤x≤2时，f'（x）＞0，
所以f（x）在区间[1，2]上是增函数，
所以h（a）=f（1）=1-a．…（9分）
②若0＜a＜

3

2

，即0＜

2

3

a＜1，
则当1≤x≤2时，f'（x）＞0，
所以f（x）在区间[1，2]上是增函数，
所以h（a）=f（1）=1-a…（10分）
③若

3

2

≤a＜3，即1≤

2

3

a＜2，
则当1＜x＜

2

3

a时，f'（x）＜0；
当

2

3

a＜x＜2时，f'（x）＞0．
∴f（x）在[1，

2

3

a]上是减函数，在[

2

3

a，2]上是增函数．
∴h(a)=f(

2

3

a)=-

4

27

a3．…（11分）
④若a≥3，即

2

3

a≥2，
则当1＜x＜2时，f'（x）＜0，
所以f（x）在区间[1，2]上是减函数．
所以h（a）=f（2）=8-4a．…（12分）
综上h(a)=

1-a    ，a＜ 3 2 - 4 27 a3，   3 2 ≤a＜3， 8-4a，，a≥3．

…（14分）

点评：本题考查利用导数求闭区间上函数最值的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．