Question

函数f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R，都有f（x+2）=f（x）．当0≤x≤1时，f（x）=x²．若直线y=x+a与函数y=f（x）的图象有两个不同的公共点，则实数a的值为（ ）
A．n（n∈Z）
B．2n（n∈Z）
C．2n或（n∈Z）
D．n或（n∈Z）

Answer 1

【答案】分析：首先求出直线y=x+a与函数y=f（x）在区间[0，2）上的图象有两个不同的公共点时的a的值为0或，又因为对任意的x∈R，
都有f（x+2）=f（x），所以要求的实数a的值为2n或2n-．
解答：解：因为函数f（x）是定义在R上的偶函数，设x∈[-1，0]，则-x∈[0，1]，于是f（x）=（-x）²=x²．
设x∈[1，2]，则（x-2）∈[-1，0]．于是，f（x）=f（x-2）=（x-2）²．
①当a=0时，联立，解之得，即当a=0时，即直线y=x+a与函数y=f（x）的图象有两个不同的公共点．
②当-2＜a＜0时，只有当直线y=x+a与函数f（x）=x²在区间[0，1）上相切，且与函数f（x）=（x-2）² 在x∈[1，2）上仅有一个交点时才满足条件．由f^′（x）=2x=1，解得x=，
∴y==，故其切点为，
∴；
由（1≤x＜2）解之得．
综上①②可知：直线y=x+a与函数y=f（x）在区间[0，2）上的图象有两个不同的公共点时的a的值为0或．
又函数f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R，都有f（x+2）=f（x），实数a的值为2n或2n-，（n∈Z）．
故应选C．
点评：此题考查了函数的奇偶性、周期性及导数的应用，用到了数形结合的思想方法．