题目内容

已知函数f（x）是定义在N*的函数，且满足f（f（k））=3k，f（1）=2，设an=f(3n-1)，b1=1，bn-log3f（an）=b1-log3f（a1）．
（I）求bn的表达式；
（II）求证：
b1
f(a1)
+
b2
f(a2) 
+…+
bn
f(an)
＜
3
4
．
分析：（I）依题意．可求得f（an）=3n，从而可得log3f（an）=n，继而由bn-log3f（an）=b1-log3f（a1）可得bn的表达式；
（II）令Sn=
b1
f(a1)
+
b2
f(a2) 
+…+
bn
f(an)
，由（I）可知，Sn=
1
3
+
2
32
+…+
n
3n
，利用错位相减法即可求得Sn，从而可证结论．
解答：解：（I）∵an=f（3n-1），
∴f（an）=f（f（3n-1））=3•3n-1=3n．
∴log3f（an）=n，
同理，log3f（a1）=1，…（3分）
由bn-log3f（an）=b1-log3f（a1）及b1=1得bn=n …（6分）
（II）证明：设Sn=
b1
f(a1)
+
b2
f(a2) 
+…+
bn
f(an)
，
即Sn=
1
3
+
2
32
+…+
n
3n
…①
则
1
3
Sn=
1
32
+
2
33
+…+
n-1
3n
+
n
3n+1
…②…（9分）
①-②得 
2
3
Sn=
1
3
+
1
32
+
1
33
+…+
1
3n
-
n
3n+1

=
1
3
(1-
1
3n
)
1-
1
3
-
n
3n+1

=
1
2
-（n+
3
2
）•
1
3n+1
＜
1
2
，
∴Sn＜
3
4
…（12分）
点评：本题考查数列的求和，着重考查错位相减法的应用，考查数列与不等式的综合应用，属于难题．
练习册系列答案
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已知函数f（x）=
2x+2-x
2
，g（x）=
2x-2-x
2
，
（1）计算：[f（1）]2-[g（1）]2；
（2）证明：[f（x）]2-[g（x）]2是定值．
精英家教网已知函数f（x）=x+
a
x
的定义域为（0，+∞），且f（2）=2+
2
2
．设点P是函数图象上的任意一点，过点P分别作直线y=x和y轴的垂线，垂足分别为M、N．
（1）求a的值．
（2）问：|PM|•|PN|是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，请说明理由．
（3）设O为坐标原点，求四边形OMPN面积的最小值．
已知函数f（x）=log3
3
x
1-x
，M(x1，y1)，N(x2，y2)是f（x）图象上的两点，横坐标为
1
2
的点P满足2
OP
=
OM
+
ON
（O为坐标原点）．
（Ⅰ）求证：y1+y2为定值；
（Ⅱ）若Sn=f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)，其中n∈N*，且n≥2，求Sn；
（Ⅲ）已知an=
1
6
，                          n=1
1
4(Sn+1)(Sn+1+1)
，n≥2
，其中n∈N*，Tn为数列{an}的前n项和，若Tn＜m（Sn+1+1）对一切n∈N*都成立，试求m的取值范围．
已知函数f（x）=log3
3
x
1-x
，M（x1，y1），N（x2，y2）是f（x）图象上的两点，且x1+x2=1．
（1）求证：y1+y2为定值；
（2）若Sn=f（
1
n
）+f（
2
n
）+…+f（
n-1
n
）（n∈N*，N≥2），求Sn；
（3）在（2）的条件下，若an=
1
6
 ，n=1
1
4(Sn+1)(Sn+1+1)
，n≥2
（n∈N*），Tn为数列{an}的前n项和．求Tn．
已知函数f（x）=sin（2x-
π
6
），g（x）=sin（2x+
π
3
），直线y=m与两个相邻函数的交点为A，B，若m变化时，AB的长度是一个定值，则AB的值是（　　）

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