Question

如图，在平面直角坐标系中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A，B两点．
（1）如果A，B两点的纵坐标分别为

4

5

，

12

13

，求cosα和sinβ的值；
（2）在（1）的条件下，求cos（β-α）的值；
（3）已知点C(-1，

3

)，求函数f(α)=

OA

•

OC

的值域．

Answer 1

分析：（1）根据三角函数的定义，利用单位圆，直接求出cosα和sinβ的值．
（2）由题意判断α，β范围，求出cosα=

3

5

，cosβ=-

5

13

．利用两角差的余弦公式求解cos（β-α）的值．
（3）求出函数f(α)=

OA

•

OC

的表达式，f(α)=

OA

•

OC

=2sin(α-

π

6

)，根据α的范围，确定函数的值域．

解答：解：（1）根据三角函数的定义，得sinα=

4

5

，sinβ=

12

13

．
又α是锐角，所以，cosα=

3

5

．（4分）
（2）由（1）知，sinα=

4

5

，sinβ=

12

13

．
又α是锐角，β是钝角，
所以cosα=

3

5

，cosβ=-

5

13

．
所以cos(β-α)=cosβcosα+sinβsinα=(-

5

13

)×

3

5

+

12

13

×

4

5

=

33

65

．（9分）
（3）由题意可知，

OA

=(cosα，sinα)，

OC

=(-1，

3

)．
所以f(α)=

OA

•

OC

=

3

sinα-cosα=2sin(α-

π

6

)，
因为0＜α＜

π

2

，所以-

π

6

＜α-

π

6

＜

π

3

，
所以函数f(α)=

OA

•

OC

的值域为(-1，

3

)．（13分）

点评：本题考查任意角的三角函数的定义，平面向量数量积的运算，同角三角函数基本关系的运用，两角和与差的余弦函数，考查计算能力，是中档题．