题目内容
已知
与
的模均为2，且|m
+
|=
|
-m
|，其中m＞0
（1）用m表示
•
；
（2）求
•
的最小值及此时
与
的夹角．
| a |
| b |
| a |
| b |
| 3 |
| a |
| b |
（1）用m表示
| a |
| b |
（2）求
| a |
| b |
| a |
| b |
分析：（1）通过|m
+
|=
|
-m
|，列出方程，利用
与
的模均为2，即可求出
•
；
（2）结合（1）利用基本不等式，求
•
的最小值，通过数量积公式直接求出
与
的夹角．
| a |
| b |
| 3 |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
（2）结合（1）利用基本不等式，求
| a |
| b |
| a |
| b |
解答：解：（1）因为
与
的模均为2，|m
+
|=
|
-m
|
所以(m
+
)•(m
+
)=3(
-m
)•(
-m
)，
m2
2+
2+2m
•
=3
2+3m2
2-6m
•
，
即8m
•
=8+8m2；
∵m＞0
∴
•
=m+
．
（2）
•
=m+
≥2，当且仅当m=1时，
•
最小值为2，
此时
•
=|
||
|cosθ=2，
∴cosθ=
，
∴θ=
．
| a |
| b |
| a |
| b |
| 3 |
| a |
| b |
所以(m
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
m2
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
即8m
| a |
| b |
∵m＞0
∴
| a |
| b |
| 1 |
| m |
（2）
| a |
| b |
| 1 |
| m |
| a |
| b |
此时
| a |
| b |
| a |
| b |
∴cosθ=
| 1 |
| 2 |
∴θ=
| π |
| 3 |
点评：本题考查向量的数量积与向量的模的计算，考查计算能力．
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