Question

【题目】设函数.

(Ⅰ)求函数的单调区间；

(Ⅱ)若函数有两个极值点且，求证．

Answer 1

【答案】当时，函数在递减，在递增；当时，函数在单调递增，在单调递减．

(Ⅱ)证明见解析

【解析】试题分析：（1）由函数的定义域为， ，令，则，由根的判断式进行分类讨论，能求出函数的单调区间；（2）由，知函数有两个极值点时， ，由此推导出，且，即，构造函数，能够证明.

试题解析：(Ⅰ)定义域为

令，则．

①当，即时， ，此时，故函数在上单调递增；

②当，即时， 的两个根为

，

当，即时， ，当时，

故当时，函数在递减，在递增；当时，函数在单调递增，在单调递减．

(Ⅱ)∵,∴当函数有两个极值点时， ，

故此时，且，即， ,

设，其中， 则，

由于时， ，故函数在上单调递增，

故．∴．