Question

已知直线l：6x-5y-28=0交椭圆于M，N两点，B（0，b）是椭圆的一个顶点，且b为整数，
而△MBN的重心恰为椭圆的右焦点F₂．
（1）求此椭圆的方程；
（2）设此椭圆的左焦点为F₁，问在椭圆上是否存在一点P，使得∠F₂PF₁=60°？并证明你的结论．

Answer 1

【答案】分析：（1）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由M、N两点在椭圆上，代入椭圆的方程，由平方差法可求得M，N两点的对应坐标的和的关系，再由△MBN的重心恰为椭圆的右焦点F₂，也可求得M，N两点的对应坐标的和，两者联立可求出a、b、c 的关系．再结合M、N在直线L上，可求出a、b、c 的值．
（2）假设存在，在△F₂PF₁中由余弦定理表示出cos∠F₂PF₁，再结合椭圆的定义和基本不等式即可求解．
解答：解（1）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
则b²x₁²+a²y₁²=a²b²，b²x₂²+a²y₂²=a²b²，
两式相减得①，
由，得x₁+x₂=3c，y₁+y₂=-b，代入①
得2b²-5bc+2c²=0⇒2b=c或b=2c②；
∵M、N在直线L上，得6（x₁+x₂）-5（y₁+y₂）=56⇒18c+5b=56③；
由②③解得（b为整数）：b=4，c=2，a²=20，
因此椭圆方程为：．
（2）证明：
=，
∴∠F₁PF₂＜60°，
∴使∠F₁PF₂=60°的点P不存在．
点评：本题考查直线和椭圆的位置关系、待定系数法求轨迹方程、椭圆的定义、焦点三角形等问题，综合性强，运算量大．考查推理能力和运算能力．