Question

已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱垂直于底面，∠BAC=90°，AB=AA₁=2，AC=1，M，N分别是A₁B₁，BC的中点．
（Ⅰ）证明：MN∥平面ACC₁A₁；
（Ⅱ）若点P线段BN上，且三棱锥P-AMN的体积，求的值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）证明：MN∥平面ACC₁A₁，设AC的中点为D，连接DN，A₁D，只需证明A₁D∥MN即可；
（Ⅱ）通过三棱锥P-AMN的体积，利用棱柱的高，求出△APN的面积，再利用面积的比求的值．
解答：解：（I）证明：设AC的中点为D，连接DN，A₁D．
∵D，N分别是AC，BC的中点，
∴（2分）
，
∴，
∴四边形A₁DNM是平行四边形
∴A₁D∥MN（4分）
∵A₁D?平面ACC₁A₁，
MN?平面ACC₁A₁∴MN∥平面ACC₁A₁（6分）

（II）∵
又M到底面ABC的距离：AA₁=2
∴（8分）
∵N为BC中点∴（9分）
∵（11分）
此时．（12分）
点评：本题考查直线与平面平行的判定，考查棱锥的体积，学生空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．