Question

在棱长都为a的正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，P是A₁B的中点．
（Ⅰ）求PC与平面ABB₁A₁所成的角；
（Ⅱ）求C₁到平面PAC的距离．

Answer 1

（Ⅰ）取AB的中点为O，连PO．
∵平面ABB₁A₁⊥平面ABC，∴CO⊥ABB₁A₁．
∴∠CPO是PC与平面ABB₁A₁所成的角．
∵CO=

3

2

a，PO=

1

2

a，
∴tan∠CPO=

3

，∠CPO=60°．
（Ⅱ）A₁C₁∥AC，∴A₁C₁∥平面PAC．
∴C₁到平面PAC的距离就是点A₁到平面PAC的距离，设为h．
取AB的中点D，则CD⊥平面ABB₁A₁，且CD=

3

2

a．
又知DP=

1

2

a，∴PC=a．
又AP=

2

2

a，求得S△PAC=

7

8

a2．
∵VC1-PAC=VA1-PAC=VC-PAA1，
∴

1

3

S△PAC•h=

1

3

S△PAA1•CD．∴

1

3

•

7

8

a2•h=

1

3

•

1

4

a2•

3

2

a
解得h=

21

7

a．