Question

在数列{a_n}中，a1=

1

6

，an=

Sn-1

2+3+4+…+n

(n≥2)其中S_n表示数列的前n项和．
（Ⅰ）分别求a₂，a₃，a₄的值；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式a_n的表达式，并予以证明．

Answer 1

（本小题满分14分）
（Ⅰ）因为a1=

1

6

，an=

Sn-1

2+3+4+…+n

(n≥2)，
所以n=2时a2=

S1

2

=

1

12

，a2=

1

12

，
n=3时a3=

S2

2+3

=

a1+a2

2+3

=

1 6  + 1 12

5

=

1

20

，a3=

1

20

，
n=4时a4=

S3

2+3+4

=

a1+a2+a4

2+3+4

=

1

30

，a4=

1

30

…（3分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）猜想数列{a_n}的通项公式an=

1

(n+1)(n+2)

…（5分）
以下用数学归纳法证明：①n=1时，a1=

1

6

，命题成立；
②假设n=k（k≥1）时成立，即ak=

1

(k+1)(k+2)

成立…（7分）
由已知ak=

Sk-1

2+3+4+…+k

推得：SK-1=(2+3+…+k)•ak=

(k-1)(k+2)

2

•

1

(k+1)(k+2)

=

k-1

2(k+1)

成立…（9分）
那么，当n=k+1时，ak+1=

Sk

2+3+…+k+(k+1)

=

Sk-1+ak

k(k+3) 2

=

k-1 2(k+1) + 1 (k+1)(k+2)

k(k+3) 2

=

k(k+1)

k(k+1)(k+2)(k+3)

=

1

(k+2)(k+3)

则n=k+1时，an=

1

(n+1)(n+2)

也成立．…（14分）
综上可知，对任意n∈N，an=

1

(n+1)(n+2)

成立．