Question

在数列{a_n}中，a_n=1+2²+3³+…+nⁿ，n∈N^*．在数列{b_n}中，b_n=cos（a_n•π），n∈N^*．则b₂₀₀₈-b₂₀₀₉=

2

．

Answer 1

分析：首先我们知道当m为偶数时，cos（mπ）=1； 而当m为奇数时，cos（mπ）=-1．再根据数列{a_n}的性质，发现为偶数而a₂₀₀₉为奇数，因此cos（a₂₀₀₈π）=1，且cos（a₂₀₀₉π）=-1
将此结果代入到{b_n}的表达式，则不难得到b₂₀₀₈-b₂₀₀₉的结果．

解答：解：a_n=1+2²+3³+…+nⁿ，n∈N^*．有如下规律：
当n=4K，K∈N*时，必定是偶数，因此b_n=cos（a_n•π）=1，
而当n=4K+1，K∈N*时，必定是奇数，因此b_n=cos（a_n•π）=-1，
而2008=4×502，2009=4×502+1，
因此b₂₀₀₈=1，b₂₀₀₉=-1
所以b₂₀₀₈-b₂₀₀₉═2
故答案为2

点评：本题以余弦三角函数为例，考查了数列的应用，属于中档题．抓住余弦函数取值的规律，结合本题中数列项的奇偶数的特征，是解决本题的关键．