Question

函数y=a^x+log_ax（a＞0，a≠1）零点的个数为________．

Answer 1

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分析：由于此函数是由两个单调性相同的函数的和故，其单调性已知，再由函数零点存在的定理求出其零点的个数
解答：∵当a＞1时，函数y=a^x+log_ax（a＞0，a≠1）是增函数，当当a＜1时，函数y=a^x+log_ax（a＞0，a≠1）是减函数，
∴函数y=a^x+log_ax（a＞0，a≠1）是一个单调函数
故此函数至多有一个零点
又当a＞1时，自变量接近0函数值接近负无穷大，当自变量接近于正无穷大时，函数值也趋向于正无穷大
当a＜时，自变量接近0函数值接近正无穷大，当自变量接近于正无穷大时，函数值趋向于负无穷大
故此函数必有一个零点
故答案为1
点评：本题考查函数的零点，此类函数零点个数的判断，研究出其单调性及函数值的最值很关键，由于本题中函数是一个抽象函数，其底数范围对函数的单调性有影响，故采取了分类讨论的方法研究函数零点的个数