Question

4．已知数列{a_n}的前n项和为S_n=n²+4n+1，
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式； 
（Ⅱ）设b_n=2^n-1•（a_n-1），求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）首先根据S_n=n²+4n+1求出a₁的值，然后利用a_n=S_n-S_n-1求出当n＞2时，a_n的表达式，然后验证a₁的值，最后写出a_n的通项公式．
（Ⅱ）根据错位想加法即可求出前n项和．

解答 解：（Ⅰ）∵S_n=n²+4n+1，a₁=S₁=1²+4+1=6，
∴a_n=S_n-S_n-1=n²+4n+1-[（n-1）²+4（n-1）+1]=2n+3（n＞1），
∵当n=1时，a₁=5≠6，
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{6，n=1}\\{2n+3，n≥2，n∈N}\end{array}\right.$，
（Ⅱ）当n=1时，b₁=2^1-1•（a₁-1）=5，
当n≥2时，b_n=2^n-1•（a_n-1）=2^n-1•（2n+2）=（n+1）2ⁿ，
则数列{b_n}的前n项和T_n=5+3×2²+4×2³+5×2⁴+…+（n+1）•2ⁿ，
2T_n=10+3×2³+4×2⁴+5×2⁵+…+n•2ⁿ+（n+1）•2ⁿ⁺¹，
两式相减得-T_n=-5+3×2²+2³+2⁴+…+2ⁿ-（n+1）•2ⁿ⁺¹=1+2+2²+2³+2⁴+…+2ⁿ-（n+1）•2ⁿ⁺¹=$\frac{1×（1-{2}^{n+1}）}{1-2}$-（n+1）•2ⁿ⁺¹=-1-n•2ⁿ⁺¹，
即T_n=1+n•2ⁿ⁺¹，
综上所述T_n=$\left\{\begin{array}{l}{5，n=1}\\{1+n•{2}^{n+1}，n≥2，n∈N}\end{array}\right.$

点评 本题主要考查数列通项公式的求解和数列求和，要求熟练掌握错位相减法．考查学生的计算能力，属于中档题．