Question

如图在边长为的正三角形ABC中，D、E、F分别为各边的中点，G、H、I、J分别为AF、AD、BE、DE的中点，若△ABC沿DE、EF、DF折成三棱锥A-DEF以后，以下命题错误的是（ ）

A．HG与IJ所成角为60°
B．HG⊥AF
C．三棱锥A-DEF的体积为
D．三角形DEF的面积为

Answer 1

【答案】分析：△ABC沿DE，EF，DF折成三棱锥以后，I，J分别为BE、DE的中点，则IJ∥侧棱，故GH与IJ所成角与侧棱与GH所成的角相等．AD为折成三棱锥的侧棱，则GH与IJ所成角的度数为60°；由HG∥BC，AF⊥BC，知HG⊥AF；边长为的正三角形ABC中，D、E、F分别为各边的中点，能求出三角形DEF的面积和三棱锥A-DEF的体积．
解答：解：将△ABC沿DE，EF，DF折成三棱锥以后，
I、J分别为BE、DE的中点，则IJ∥侧棱，
故GH与IJ所成角与侧棱与GH所成的角相等；
AD为折成三棱锥的侧棱，因为∠AHG=60°，
故GH与IJ所成角的度数为60°，故A正确；
∵HG∥BC，AF⊥BC，∴HG⊥AF，故B正确；
∵边长为的正三角形ABC中，D、E、F分别为各边的中点，
∴三角形DEF的面积S==，
三棱锥A-DEF的体积V=××=，故C正确，D错误．
故选D．
点评：本题主要考查了两直线所成角，考查了两直线的位置关系的判断，考查了三角形面积和三锥锥体的计算，解题的关键就是弄清翻折后的图形，属于中档题．