Question

已知数列、中，，且当时，，.记的阶乘.
（1）求数列的通项公式；
（2）求证：数列为等差数列；
（3）若，求的前 项和.

Answer 1

（1）；（2）详见解析；（3）数列的前项和为.

试题分析：（1）根据数列的通项公式的结构特点选择迭代法求数列的通项公式；（2）在数列的递推式的两边同时除以得到，于是得到，从而利用定义证明数列为等差数列；（3）在（2）的基础上求出数列的通项公式，并分别求出数列和数列的通项公式，然后根据数列的通项结构选择分组求和法，分别对数列和数列进行求和，利用裂项法对数列进行求和，利用错位相减法对数列进行求和，然后再将两个和相加即可.
试题解析：（1），，，
；
又，所以；
（2）由，两边同时除以得，即，
所以数列是以为首项，以为公差的等差数列，
，故；
（3）因为，，
记，，
记的前项和为，
则，             ①
    ②
由②①得，，
∴=.