Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，AC=BC=CC₁=a，E是A₁C₁的中点，F是AB中点．
（1）求证：EF∥面BB₁C₁C；
（2）求直线EF与直线CC₁所成角的正切值．

Answer 1

分析：（1）利用线面平行的判定定理，证明平面EFG∥平面BB₁C₁C，即可．
（2）根据直线所成角的定义，进行求解．

解答：解：（1）取AC的中点G，连结EG，FG，
∵EG∥C₁C，C₁C?平面EFG，
∴C₁C∥平面EFG，
同理可证BC∥平面EFG，
又∵BC，C₁C?面BB₁C₁C，
∴平面EFG∥平面BB₁C₁C，
∴EF∥面BB₁C₁C．
（2）∵在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∴EG⊥面BB₁C₁C，
∵EG∥C₁C，
∴∠FEG为直线EF与C₁C所成的角，
∵△EFG为直角三角形，
∴tan∠EFG=

FG

EG

=

1 2 a

a

=

1

2

．

点评：本题主要考查线面平行的判定以及直线所成角的定义及求法，要求熟练掌握相应的判定定理和性质定理．