Question

已知f（x）=

3

sinxcosx-cos²x-

1

2

．
（1）求函数f（x）的最小正周期，单调增区间．
（2）设△ABC的三内角A，B，C对边分别为a，b，c且c=

3

，f（C）=0，若

d

=（1，sinA），

e

=（2，sinB）共线，求a，b的值．

Answer 1

分析：（1）化简函数的表达式为一个角的一个三角函数的形式，然后求函数f（x）的最小正周期，利用正弦函数的单调增区间求出函数的单调增区间．
（2）通过函数的表达式以及f（C）=0，求出C 的值，利用

d

=（1，sinA），

e

=（2，sinB）共线，和余弦定理求出a，b的值．

解答：解：（1）f（x）=

3

sinxcosx-cos²x-

1

2

=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x-1=sin（2x-

π

6

）-1
∴函数f（x）的最小正周期T=π．
2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

?kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

  k∈Z
所以单调增区间：[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]    k∈Z
（2）∵f（x）=sin（2x-

π

6

）-1，f（C）=0
∴f（C）=sin（2C-

π

6

）-1=0，C为三角形内角，所以C=

π

3

．

d

=（1，sinA），与

e

=（2，sinB）共线，所以sinB=2sinA?b=2a…①
由余弦定理得：c²=a²+b²-2abcosC即c²=a²+b²-ab…②
由①②得a=1，b=2

点评：本题是基础题，考查三角函数的化简求值，三角函数的周期的求法，余弦定理的应用，向量的应用，考查计算能力，常考题型．