题目内容

设函数f（x）=sin（ $数学公式$ x+ $数学公式$ ）-2sin² $数学公式$ x．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）若函数y=g（x）的图象与函数y=f（x）的图象关于原点对称，求S=g（1）+g（2）+…+g（2012）的值．

解：（1）∵函数f（x）=sin（ $\text{[math]}$ x+ $\text{[math]}$ ）-2sin² $\text{[math]}$ x= $\text{[math]}$ sin $\text{[math]}$ x+ $\text{[math]}$ cos $\text{[math]}$ x-2• $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ sin $\text{[math]}$ x+ $\text{[math]}$ cos $\text{[math]}$ x）-1= $\text{[math]}$ sin（ $\text{[math]}$ x+ $\text{[math]}$ ）-1，
故函数f（x）的最小正周期T= $\text{[math]}$ =4．
（2）∵函数y=g（x）的图象与函数y=f（x）的图象关于原点对称，在函数y=g（x）的图象上任取一点
（x，g（x）），则它关于原点的对称点（-x，-g（x））在函数y=f（x）的图象上，
即点（-x，-g（x））的坐标满足函数y=f（x）的解析式，故有-g（x）= $\text{[math]}$ sin（- $\text{[math]}$ x+ $\text{[math]}$ ）-1=- $\text{[math]}$ sin（ $\text{[math]}$ x- $\text{[math]}$ ）-1，
∴g（x）= $\text{[math]}$ sin（ $\text{[math]}$ x- $\text{[math]}$ ）+1，故函数g（x）的周期为4．
∵g（1）= $\text{[math]}$ sin（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）+1= $\text{[math]}$ +1，g（2）= $\text{[math]}$ sin（ $\text{[math]}$ ×2- $\text{[math]}$ ）+1= $\text{[math]}$ +1，g（3）= $\text{[math]}$ sin（ $\text{[math]}$ ×3- $\text{[math]}$ ）+1=1- $\text{[math]}$ ，
g（4）= $\text{[math]}$ sin（ $\text{[math]}$ ×4- $\text{[math]}$ ）+1=1- $\text{[math]}$ ，∴g（1）+g（2）+g（3）+g（4）=4．
S=g（1）+g（2）+…+g（2012）=503（g（1）+g（2）+g（3）+g（4））=503×4=2012．
分析：（1）利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式为 $\text{[math]}$ sin（ $\text{[math]}$ x+ $\text{[math]}$ ）-1，由此求得f（x）的最小正周期．
（2）在函数y=g（x）的图象上任取一点（x，g（x）），则它关于原点的对称点（-x，-g（x））在函数y=f（x）的图象上，由此求得 g（x）= $\text{[math]}$ sin（ $\text{[math]}$ x- $\text{[math]}$ ）+1，由此求得
函数g（x）的周期为4，求出g（1）+g（2）+g（3）+g（4）的值，即可求得S=g（1）+g（2）+…+g（2012）的值．
点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，利用函数的周期性求函数值，属于中档题．