Question

已知A、B、C是△ABC的三个内角，且满足2sinB=sinA+sinC，设B的最大值为B．
（Ⅰ）求B的大小；
（Ⅱ）当时，求cosA-cosC的值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用正弦定理化简已知的等式得到2b=a+c，表示出b，再利用余弦定理表示出cosB，将表示出的b代入，整理后，利用基本不等式可得出cosB的最小值，根据余弦函数在（0，π）上单调递减，利用特殊角的三角函数值即可求出B的最大值；
（Ⅱ）设所求的式子为x，记作①，由B与B的关系及B的度数，求出B的度数，代入已知的等式sinA+sinC=2sinB中，得到sinA+sinC的关系式，记作②，由①²+②²化简后，根据B的度数，求出A+C的度数，代入化简后的式子中，得到关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即为所求式子的值．
解答：解：（Ⅰ）由2sinB=sinA+sinC，利用正弦定理化简得：2b=a+c，即，
由余弦定理知cosB==（2分）
=≥=，（4分）
∵y=cosx在（0，π）上单调递减，
则B的最大值为B=；（6分）
（Ⅱ）设cosA-cosC=x，①（8分）
∵B==，
∴sinA+sinC=2sinB=，②
由①²+②²得，2-2cos（A+C）=x²+2．（10分）
又A+C=π-B=，
∴x=±，即cosA-cosC=±．（12分）
点评：此题考查了正弦、余弦定理，基本不等式，余弦函数的单调性，诱导公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．