Question

已知A、B、C是直线l上的三点，向量

OA

、

OB

、

OC

满足

OA

-（y+1-lnx）

OB

+

1-x

ax

OC

=

o

，（O不在直线l上a＞0）
（1）求y=f（x）的表达式；
（2）若函数f（x）在[1，∞]上为增函数，求a的范围；
（3）当a=1时，求证lnn＞

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

n

，对n≥2的正整数n成立．

Answer 1

分析：（1）将条件变形，利用A，B，C三点共线，可得（y+1-lnx）-

1-x

ax

=1，从而可得结论；
（2）函数f（x）在[1，+∞）上为增函数，等价于f′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，分离参数，即可求a的范围；
（3）先证明lnx≥1-

1

x

，再将x用

n

n-1

替代，即可证得结论．

解答：（1）解：∵

OA

-（y+1-lnx）

OB

+

1-x

ax

OC

=

0

，
∴

OA

=（y+1-lnx）

OB

-

1-x

ax

OC

，
∵A，B，C三点共线
∴（y+1-lnx）-

1-x

ax

=1
∴y=lnx+

1-x

ax

；
（2）解：f（x）=lnx+

1-x

ax

，∴f′（x）=

1

x

-

1

ax2

∵函数f（x）在[1，+∞）上为增函数，
∴

1

x

-

1

ax2

≥0在[1，+∞）上恒成立
∴a≥

1

x

∵

1

x

≤1，∴a≥1；
（3）证明：当a=1时，f（x）=lnx+

1

x

-1
由（2）知，x∈[1，+∞）时，f（x）≥f（1）=0
∴lnx≥1-

1

x

（当且仅当x=1时取“=”）
将x用

n

n-1

替代得ln

n

n-1

＞1-

n-1

n

=

1

n

∴ln

2

1

+ln

3

2

+…+ln

n

n-1

＞

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

n

∴lnn＞

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

n

点评：本题考查向量知识的运用，考查三点共线，考查函数的单调性，考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．