Question

【题目】过直线上的点作椭圆的切线，切点分别为，联结．

（1）当点在直线上运动时，证明：直线恒过定点；

（2）当时，定点平分线段．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】

设．则椭圆过点的切线方程分别为．因为两切线都过点，所以，．

这表明点均在直线①

上．由两点决定一条直线知，式①就是直线的方程，其中满足直线的方程．

（1）当在直线上运动时，可理解为取遍一切实数，相应的为．代

入式①消去得②

对一切恒成立．

变形可得对一切恒成立．

则．由此得直线恒过定点．

（2）当时，由式②知．解得．

代入式②得的方程为③

将此方程与椭圆方程联立，消去得．

由此得截椭圆所得弦的中点横坐标恰好为点的横坐标，即．

代入式③可得弦中点纵坐标恰好为点的纵坐标，即．

这就是说，点平分线段．