Question

如图，在四棱锥中，平面平面，且， ．四边形满足，，．为侧棱的中点，为侧棱上的任意一点.

（Ⅰ）若为的中点，求证：平面；

（Ⅱ）求证：平面平面；    

（Ⅲ）是否存在点，使得直线与平面垂直？若存在，写出证明过程并求出线段的长；若不存在，请说明理由．

 

Answer 1

证明：（Ⅰ）因为分别为侧棱的中点，

所以 ．

因为，所以．

而平面，平面，

所以平面．        

（Ⅱ）因为平面平面，

平面平面，且，平面.

所以平面，又平面，所以．

又因为，，所以平面，

而平面，

所以平面平面．…

（Ⅲ）存在点，使得直线与平面垂直.

在棱上显然存在点,使得.

由已知，，，，．

由平面几何知识可得 ．

由（Ⅱ）知，平面，所以，

因为，所以平面．

而平面，所以．[来源:学科网]

又因为,所以平面.

在中，，

可求得，．

可见直线与平面能够垂直，此时线段的长为．