Question

已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，过点K(0，－1)的直线l与C相交于A，B两点，点A关于y轴的对称点为D.

(1)证明：点F在直线BD上；

(2)设·＝，求∠DBK的平分线与y轴的交点坐标．

Answer 1

解：(1)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

D(－x1，y1)，l的方程为y＝kx－1，

由得x2－4kx＋4＝0，

从而x1＋x2＝4k，x1x2＝4.

直线BD的方程为y－y1＝ (x＋x1)，

即y－＝ (x＋x1)，

令x＝0，得y＝＝1，所以点F在直线BD上．

(2)因为FA―→·FB―→＝(x1，y1－1)·(x2，y2－1)＝x1x2＋(y1－1)·(y2－1)＝8－4k2，

故8－4k2＝，解得k＝±，

所以l的方程为4x－3y－3＝0,4x＋3y＋3＝0.

又由(1)得x2－x1＝±＝±，

故直线BD的斜率为＝±，

因而直线BD的方程为x－3y＋3＝0，

x＋3y－3＝0.

设∠DBK的平分线与y轴的交点为M(0，t)，

则M(0，t)到l及BD的距离分别为，，

由＝，得t＝或t＝9(舍去)，

所以∠DBK的平分线与y轴的交点为

M.