Question

【题目】已知椭圆 的离心率为，且过点．直线与交于，两点，点是的左焦点．

（1）求椭圆的方程；

（2）若过点且不与轴重合，求面积的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）1.

【解析】

（1）通过椭圆离心率为，过点，列式值计算即得a，b即可；

（2）解法1：设直线l的方程为代入椭圆方程，整理，利用韦达定理，计算三角形的面积，换元，利用函数的单调性，即可求得结论．

解法2：当直线l垂直于x轴时，将代入椭圆方程得，解得，此时，当直线l不垂直于x轴时，设直线l的方程为（k≠0），代入椭圆方程，整理，利用韦达定理，计算三角形的面积，换元，利用函数的单调性，即可求得结论．

（1）依题意得，

解得，

所以椭圆的方程为 .

（2）依题意得

解法1：设直线的方程为，联立椭圆方程得

消去整理得

因为在椭圆内部，所以

设，，则 ，

.

令，则，，

因为 当时，，当且仅当时“”号成立，

所以，

所以 的面积的最大值是.

解法2：当直线垂直于轴时，将代入椭圆方程得

，解得 ，此时，

当直线不垂直于轴时，设直线的方程为 ，联立椭圆方程得

消去整理得

因为在椭圆内部，所以

设，，则 ，

.

点到的距离，

所以

因为 所以令，则，

令，则，，

因为 当时，，当且仅当时“”号成立，

所以，

综上得 的面积的最大值是.